Lower Semicontinuity

定义 Definition

lower semicontinuity（下半连续性/下半半连续性，常简称 l.s.c.）：在某点附近，函数值不容易“突然跳到更小”。直观地说，函数在该点的值不大于从附近点逼近时可能出现的“极限下界”。
数学上常用表述之一：函数 \(f\) 在 \(x_0\) 处下半连续，若
\[ f(x_0)\le \liminf_{x\to x_0} f(x). \] （在优化与变分法中，这是非常重要的正则性条件；另外也有“上半连续性”等相关概念。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌloʊər ˌsɛmikɒntɪˈnjuːɪti/

例句 Examples

A function is lower semicontinuous if its value cannot drop suddenly at a point.
如果一个函数在某点的函数值不会突然下降，那么它在该点是下半连续的。

Lower semicontinuity of the energy functional is crucial for proving the existence of minimizers in variational problems.
在变分问题中，能量泛函的下半连续性对于证明极小值（极小解）的存在至关重要。

词源 Etymology

lower 表示“较低/向下”，semi- 来自拉丁语前缀，意为“半、部分”，continuity 源自拉丁语 continuus（连续的）。该术语字面意思是“向下方向的半连续性”，强调连续性只在“防止向下跳跃”这一侧成立，而不要求同时防止向上跳跃。

相关词 Related Words

• Continuity
• Semicontinuity
• Upper Semicontinuity
• Limit Inferior
• Epigraph
• Convex
• Convex Analysis
• Variational
• Coercive
• Compactness

文学与经典著作 Literary Works

• R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis（凸分析经典教材中广泛使用下半连续性来讨论闭凸函数与对偶理论）
• Rockafellar & Wets, Variational Analysis（系统阐述下半连续性、上图集（epigraph）与存在性定理）
• Ivar Ekeland & Roger Temam, Convex Analysis and Variational Problems（以变分法为主线频繁出现该概念）
• Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations（在弱收敛、泛函下半连续性与存在性证明中常见）
• Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations（泛函分析与Sobolev空间背景下的下半连续性应用）